Pidato Ilmiah Guru Besar Pudji Astuti.pdf

Majelis Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
M a j e l i s G u r u B e s a r
I n s t i t u t T e k n o l o g i B a n d u n g
Pidato Ilmiah Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
Profesor Pudji Astuti Waluyo
SUBRUANG INVARIANT:
KONTRIBUSI DAN PERLUASANNYA
22 Juli 2011
Balai Pertemuan Ilmiah ITB
Hak cipta ada pada penulis
Pidato Ilmiah Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
22 Juli 2011
Profesor Pudji Astuti Waluyo
SUBRUANG INVARIANT:
KONTRIBUSI DAN PERLUASANNYA
Majelis Guru Besar
Institut Teknologi Bandung
Hak cipta ada pada penulis
Judul: SUBRUANG INVARIANT: KONTRIBUSI DAN PERLUASANNYA
KATA PENGANTAR
Disampaikan pada sidang terbuka Majelis Guru Besar ITB,
tanggal 22 Juli 2011.
Alhamdulillahi robbilalamiin, segala puji penulis panjatkan kehadirat
Allah SWT, atas segala ijin, rahmat dan karuniaNya, naskah pidato ilmiah
dengan judul SUBRUANG INVARIANT: KONTRIBUSI DAN
PERLUASANNYA dapat penulis selesaikan. Terima kasih penulis
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
sampaikan kepada pimpinan dan anggota Majelis Guru Besar Institut
Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara
elektronik maupun mekanik, termasuk memfotokopi, merekam atau dengan menggunakan sistem
Teknologi Bandung atas kesempatan yang diberikan kepada penulis
penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penulis.
untuk menyampaikan pidato ilmiah di hadapan sidang Majelis Guru
Besar Institut Teknologi Bandung yang terhormat sebagai bentuk
UNDANG-UNDANG NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA
pertanggungjawaban akademik atas amanah guru besar yang penulis
1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu
ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh)
terima.
tahun dan/atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).
2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual
kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait
Subruang invariant merupakan salah satu topik di bidang aljabar linier
sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5
(lima) tahun
dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
yang mendapat cukup banyak perhatian peneliti untuk dikembangkan
karena aplikasinya yang luas, baik dalam bidang aljabar linier sendiri,
Hak Cipta ada pada penulis
analisis, geometri maupun sistem kontrol linier. Dalam pidato ilmiah ini,
Data katalog dalam terbitan
disampaikan tiga pengembangan yang telah penulis lakukan bersama
Pudji Astuti Waluyo
kolega dan mahasiswa terkait dengan subruang invariant dan
SUBRUANG INVARIANT: KONTRIBUSI DAN PERLUASANNYA
Disunting oleh Pudji Astuti Waluyo
generalisasinya, yaitu
1.
Pengkajian tiga tipe subruang invariant: subruang marked,
Bandung: Majelis Guru Besar ITB, 2011
subruang hyperinvariant, dan subruang karakteristik.
vi+34 h., 17,5 x 25 cm
ISBN 978-602-8468-41-1
2.
Pengkajian matriks perbandingan berpasangan yang mempunyai
1. Matematika: Aljabar 1. Pudji Astuti Waluyo
peranan penting pada suatu metode pengambilan keputusan
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
ii
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
iii
22 Juli 2011
DAFTAR ISI
majemuk yang diberi nama analytical hierarchy process (AHP).
3.
Pengembangan dan generalisasi subruang invariant ke modul.
Semoga tulisan ini akan memberikan manfaat bagi pembaca dan
KATA PENGANTAR ………………………………………………………………………. iii
menjadi bagian ibadah penulis dalam mengabdi kepada Allah SWT,
DAFTAR ISI …………………………………………………………………………………….
v
amien.
1.
PENDAHULUAN ……………………………………………………………………..
1
Bandung, 22 Juli 2011
2.
SUBRUANG MARKED, HYPERINVARIANT DAN
KARAKTERISTIK ……………………………………………………………………..
7
3.
MATRIKS PERBANDINGAN BERPASANGAN ……………………… 14
Pudji Astuti Waluyo
4.
PERLUASAN KE TEORI MODUL …………………………………………… 17
5.
PENUTUP ………………………………………………………………………………… 21
6.
UCAPAN TERIMA KASIH ………………………………………………………. 22
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………….. 25
CURRICULUM VITAE …………………………………………………………………… 31
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
iv
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
v
22 Juli 2011
SUBRUANG INVARIANT:
KONTRIBUSI DAN PERLUASANNYA
1.
PENDAHULUAN
Pertama-tama saya ucapkan terima kasih atas kesempatan yang
diberikan kepada saya untuk menyampaikan pidato ilmiah pada sidang
yang terhormat ini. Kesempatan ini saya manfaatkan untuk menyampai-
kan hasil-hasil penelitian terkait dengan topik subruang invariant yang
saya tekuni bersama kolega dan mahasiswa pada belasan tahun terakhir
ini. Konsep subruang invariant merupakan penyatuan dua konsep dasar
dalam matematika; subruang dan
.
invariant
Invariant yang berarti tidak berubah atau tetap, dalam matematika
merupakan konsep yang menyatakan tentang sifat objek matematika.
Teori invariant mulai dikembangkan pada tahun 1840an dalam dua
konteks yang berbeda, dalam karya Boole tentang transformasi linier dari
polinom homogen dan dalam karya Hesse tentang kajian titik kritis pada
kurva bidang berorde-3 yang dikaitkan dengan determinant matriks
Hessian [16]. Sekarang ini, konsep invariant kita dapati di hampir semua
bidang matematika. Sebagai contoh kita dapati kajian tentang persamaan
diferensial biasa yang invariant terhadap waktu, sistem kontrol linier yang
invariant terhadap waktu, invariant manifold dan subruang yang invariant
terhadap suatu operator linier disingkat subruang
.
invariant Karena
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
vi
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
1
22 Juli 2011
aplikasinya yang sangat luas, topik subruang invariant telah dikaji dan
lain-lain; mempelajari bagaimana peran dan fungsi dari unsur-unsur
dikembangkan di berbagai bidang matematika seperti aljabar linier,
tersebut dalam sistem yang dikaji, serta melakukan perbandingan antar
analisis, dan geometri. Adapun perjalanan penjelajahan saya di dunia
sistem matematika. Karena itu, dan karena objek-objek yang dikaji di
subruang invariant melalui rute aljabar linier.
dalam aljabar modern adalah objek matematika yang dikaji di berbagai
Aljabar adalah salah satu cabang matematika yang biasanya dikaitkan
bidang matematika, tidaklah mengherankan jika teori dan hasil-hasil yang
dengan berbagai ide dan teknik matematika terkait dengan aritmatika dan
dikembangkan di dalam aljabar modern, termasuk aljabar linier, banyak
manipulasi formal objek matematika. Pada abad 18 dan 19, penelitian di
melandasi dan memberikan manfaat yang luas pada perkembangan
bidang aljabar utamanya tentang teori persamaan polinom dan teori
berbagai bidang matematika.
bentuk polinom (polynomial forms) termasuk konsep invariant aljabar
Melihat pemanfaatan aljabar linier, suatu hal yang wajar pula bahwa
(algebraic
.
invariant) Pada akhir abad 19 dan awal abad 20, perkembangan
kemunculan dan perkembangan konsep dasar yang membangun aljabar
penelitian di bidang aljabar mengalami perubahan fundamendal dengan
linier sekarang ini, seperti konsep sistem persamaan linier, determinant,
mulai terkristalisasi pandangan baru aljabar modern atau abstrak yang
bebas linier, basis dan dimensi, kita dapati di berbagai bidang matematika.
bekerja secara aksiomatik dan struktural [17]. Aljabar linier yang
Konsep-konsep tersebut bahkan telah berkembang pada abad 18 dan 19
berkembang sampai saat ini dapat dimasukkan dalam kelompok aljabar
dalam bentuk yang terkait dengan keperluannya waktu itu, mendahului
modern.
kelahiran konsep ruang vektor [32].
Aljabar modern mengkaji struktur objek-objek yang dikaji dan
Ruang vektor, menyambung perumpamaan bebas di atas, adalah
dikembangkan di berbagai bidang matematika. Objek-objek matematika
salah satu species yang dikembangan di dunia aljabar modern. Ruang
tersebut biasanya kita namakan sistem matematika. Perumpamaan bebas
vektor merupakan sistem matematika yang menjadi kerangka kerja dan
yang sering saya gunakan atau sampaikan, misalnya pada saat berdiskusi
melandasi bangunan aljabar linier. Ruang vektor baru diperkenalkan
dengan mahasiswa, adalah bahwa di dalam aljabar modern kita
pertama kali secara aksiomatik oleh Peano pada tahun 1888 jauh sesudah
mempelajari anatomi dan fisiologi sistem matematika. Dalam aljabar
berbagai konsep dasar dalam aljabar linier seperti determinant dan bebas
modern kita mengkaji komponen apa saja yang menyusun suatu species
linier dimunculkan. Lebih dari itu, pengkajian yang intensif tentang ruang
sistem matematika seperti grup, gelanggang, ruang vektor, modul dan
vektor juga baru dimulai tahun 1918 ketika konsep ruang vektor riil
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
2
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
3
22 Juli 2011
berdimensi hingga diperkenalkan secara terpisah oleh Weyl [32]. Karena
perhatikan contoh sederhana operator linier pada ruang vektor R3berikut:
itu, jika kita pelajari sejarah aljabar linier, urutan kelahiran sejumlah
R
R
konsep yang ada dalam aljabar linier adalah kebalikan dari urutan
konsep-konsep yang kita dapati di buku-buku aljabar linier sekarang dan
yang kita ajarkan.
Operator linier TA memetakan atau mengaitkan atau beraksi pada vektor
Subruang invariant adalah suatu bagian dari suatu ruang vektor yang
dengan mengalikannya dengan matriks
mempunyai struktur dan sifat tertentu terkait dengan suatu operator
menjadi vektor
Aksi operator TA tidak terlalu sederhana. Setiap
linier. Operator linier sendiri adalah suatu cara membandingkan atau
mengaitkan dua buah ruang vektor yang mengawetkan struktur di kedua
, sebagai hasil aksi operator TA pada
ruang vektor yang dibandingkan tersebut. Struktur subruang invariant
yang telah banyak dikaji dan dikembangkan oleh para peneliti dapat
, bergantung pada semua komponen vektor v.
membantu memecahkan permasalahan yang terkait dengan ruang vektor
dan operator linier. Metode pemecahan masalah dengan memanfaatkan
Hal yang menguntungkan adalah operator TA memecah atau
konsep dan struktur subruang invariant disebut metode atau pendekatan
mendekomposisi ruang R3 menjadi tiga buah subruang berdimensi satu
subruang invariant atau sering disebut juga pendekatan secara geometri.
yang istimewa. Subruang pertama adalah V1 yang berisi semua vektor
Metode subruang invariant banyak dimanfaatkan di berbagai bidang,
kelipatan dari vektor
. Semua vektor di V1 dipetakan oleh
antara lain di bidang aljabar sendiri, bidang analisis, bidang sistem kontrol
dan lain-lain.
TA pada dirinya sendiri, artinya tetap ke dalam V .1
Prinsip dasar pada pendekatan subruang invariant sangat sederhana
dan natural, yaitu memanfaatkan struktur subruang invariant untuk
membantu memecah permasalahan yang kompleks dan sukar ditangani
menjadi sejumlah subpermasalahan yang kecil-kecil dan diharapkan
menjadi lebih sederhana sehingga dapat diselesaikan. Sebagai ilustrasi
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
4
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
5
22 Juli 2011
operator linier pada masing-masing subruang invariant dengan aksinya
yang sederhana. Sangat disayangkan atau sebaliknya adalah suatu
keberuntungan bahwa hal ini tidak selalu terjadi, sehingga banyak hal
yang masih perlu dikaji, diteliti, dan dikembangkan lebih lanjut.
Pada kesempatan ini akan disampaikan tiga pengembangan yang
telah saya lakukan bersama kolega dan mahasiswa terkait dengan
subruang invariant dan generalisasinya, yaitu
1.
Pengkajian tiga tipe subruang invariant: subruang marked,
subruang hyperinvariant, dan subruang karakteristik.
Lebih lanjut, jumlah ketiga subruang tersebut, yaitu V +
1 V +
2 V ,
3 adalah
2.
Pengkajian matriks perbandingan berpasangan yang mempunyai
seluruh ruang R .3 Keistimewaan ini memberikan peluang untuk memecah
peranan penting pada suatu metode pengambilan keputusan
operator linier TA menjadi tiga buah operator linier pada masing masing

majemuk yang diberi nama analytical hierarchy process (AHP).
subruang V ;1 V2 dan V3 dimana aksinya pada masing-masing subruang
3.
Pengembangan dan generalisasi subruang invariant ke modul.
tersebut lebih sederhana, yaitu melipatkan vektor yang dilakukan
tindakan.
Untuk sebarang operator linier T, suatu subruang yang memiliki
2
SUBRUANG
,
MARKED HYPERINVARIANT DAN
struktur seperti subruang V ;
KARAKTERISTIK
1
V ;
2
V3 di atas, dimana aksi T pada vektor di
dalamnya akan menghasilkan vektor yang kembali berada di subruang
Penelitian saya bersama Prof. H.K.Wimmer dariWuerzburg, Republik
tersebut, kita namakan subruang invariant terhadap operator T atau
Federal Jerman, berkaitan dengan subruang invariant menyangkut tiga
disingkat subruang
.
invariant Secara umum, jika aksi operator linier pada
tipe subruang
;
invariant yaitu subruang
,
marked subruang hyperinvariant,
suatu ruang vektor dapat menyebabkan terdekomposisinya seluruh
dan subruang karakteristik. Konsep subruang marked dapat dilihat di
ruang vektor menjadi sejumlah subruang invariant yang berdimensi satu,
Gohberg dkk [30]. Konsep subruang marked dikembangkan antara lain
maka kita dapat memecah operator linier tersebut menjadi sejumlah
untuk memahami dan memecah permasalahan yang terkait dengan ruang
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
6
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
7
22 Juli 2011
vektor dan operator linier secara bertahap. Kajian karakterisasi dan sifat-
dari 1 masing belum sederhana.
sifat subruang marked telah banyak dilakukan, misalnya di Bru dkk [15]
v
1
v2 v3
dan Ferrer dkk [21]. Konsep subruang marked juga telah diperluas menjadi
v3
v
v
3
4
v
( ,
C A)-marked yang mempunyai aplikasi pada masalah kestabilan sistem
2 v
v4
1
kontrol linear [18].
v6
v5
v6
v5
Operator linier yang sederhana akan memecah atau mendekomposisi
seluruh domain atau ranah ruang vektor menjadi sejumlah subruang
(a)
(b)
invariant berdimensi satu. Selanjutnya, aksi operator pada masing-masing
Gambar1: Ilustrasi Subruang Marked
subruang invariant adalah melipatkan vektor dengan skalar. Misalkan
domain ruang vektor diilustrasikan sebagai seluruh cakram pada Gambar
Salah satu cara untuk dapat lebih memahami aksi operator linier pada
1(a) dan juring-juring dalam gambar tersebut mengilustrasikan subruang
subruang invariant yang tidak dapat didekomposisi lagi adalah melalui
.
invariant Perlu diketahui ilustrasi ini hanya sekedar perumpamaan yang
barisan naik subruang invariant seperti yang diilustrasikan pada Gambar
tidak sepenuhnya tepat. Namun demikian saya yakin ilustrasi ini dapat
1(b). Pada gambar tersebut, subruang V ,3 misalnya berdimensi 3, tidak
memberikan penjelasan yang sederhana tentang subruang
,
invariant
dapat lagi didekomposisi menjadi dua atau tiga buah subruang invariant
khususnya subruang
.
marked
dengan dimensi satu atau dua yang saling lepas. Dalam hal ini, jika dapat
Secara umum, sebarang operator linier mendekomposisi seluruh
diperoleh subruang invariant V1 dan V2 dengan V1 di dalam V2 dan V2 di
domain ruang vektor menjadi beberapa subruang invariant dengan
dalam V3 serta dimensi V1 satu, dimensi V2 dua dan dimensi V3 tiga maka
dimensi sebarang. Bahkan ada suatu operator linier yang disebut
pemahaman aksi operator linier pada V3 dapat diperoleh secara bertahap
nonderogatori dengan satu nilai karakteristik, untuk operator linier
dari aksi pada V ,1 aksi pada V2 dan selanjutnya aksi pada V .3
tersebut, seluruh ruang vektor tidak dapat lagi didekomposisi. Masing-
Ide dekomposisi seperti ilustrasi tersebut di atas antara lain yang
masing subruang invariant pedekomposisi tidak dapat lagi didekomposisi
diakomodasi oleh subruang marked dengan definisi formal sebagai
menjadi subruang invariant yang lebih kecil dan saling lepas. Dalam hal
berikut. Basis Jordan adalah basis ruang vektor terkait dengan bentuk
ini, aksi operator linier pada subruang invariant yang berdimensi lebih
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
8
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
9
22 Juli 2011
kanonik Jordan suatu matriks yang diperkenalkan oleh Jordan dan
basis Jordan. Artinya mencari barisan bilangan bulat tak negatif, jika ada,
Weirstrass, serta dapat digunakan untuk menunjukkan similaritas dua
sehingga subruang marked yang dibangun dengan barisan bilangan bulat
matriks [32].
tersebut dan sebarang basis Jordan akan tetap untuk semua basis Jordan
yang mungkin. Kajian ini membawa kami pada perkenalan dengan dua
Definisi 2.1.
jenis subruang invariant lainnya, yaitu subruang hyperinvariant dan
Misalkan C menyatakan lapangan bilangan kompleks, V suatu ruang vektor
subruang karakteristik. Khususnya, kita memperoleh hubungan ketiga
atas lapangan C yang berdimensi hingga dan T : V V suatu operator
subruang tersebut sebagaimana diperlihatkan dalam teorema berikut.
linier. Suatu subruang T-invariant W disebut subruang marked jika W
Suatu subruang yang invariant terhadap operator linier T dikatakan
memiliki basis Jordan terhadap T yang dibatasi pada W yang dapat diperluas
hyperinvariant jika ia juga invariant terhadap semua operator linier yang
menjadi basis Jordan dari V terhadap T.
komutatif dengan T ( lihat [30], [33]) dan suatu subruang yang invariant
Secara formal subruang marked adalah subruang invariant yang
terhadap operator linier T disebut subruang karakteristik jika ia juga
dibangun dengan menggunakan suatu basis Jordan, khususnya sebagian
invariant terhadap semua isomorfisma yang komutatif dengan T [31].
unsur dalam suatu basis Jordan dikeluarkan dan disisanya digunakan
untuk membangun subruang marked tersebut. Dengan demikian dapat
disimpulkan bahwa pada dasarnya subruang marked dapat dipandang
sebagai fungsi dari basis Jordan seluruh ruang vektor dan barisan
bilangan bulat tak negatif yang mengindikasikan anggota dari basis
Jordan yang dikeluarkan dan berarti tidak menjadi anggota basis
subruang
.
marked Dengan demikian, secara umum untuk dua buah basis
Jordan yang berbeda dengan paramater barisan bilangan bulat yang sama,
ada kemungkinan menghasilkan dua subruang marked yang berbeda.
Salah satu kajian yang kami lakukan adalah mencari kondisi atau
syarat atau kriteria untuk subruang marked yang tidak bergantung pada
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
10
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
11
22 Juli 2011
Equation disingkat ARE) berbentuk
Q + F X
* + XF – XDX = 0
(2.1)
dengan Q; F;D adalah matriks atas lapangan kompleks berukuran m x
,
m
D dan Q matriks Hermit dengan D 0 dan diasumsikan pasangan ( ,
F
)
D
terkontrol. Pada masalah infinite-horizon sistem kontrol linier yang
adalah subruang karakteristik.
invariant terhadap waktu, penentuan pengontrol optimal dengan fungsi
biaya kuadratik pada akhirnya menyangkut penyelesaian ARE (2.1) yang
bersifat Hermit [14]. ARE juga memegang peranan penting pada
Teorema 2.2 menunjukkan syarat perlu dan cukup untuk subruang
pengkajian teori kontrol H-
.
infinity Terkait dengan ARE ini, diperoleh
marked yang tidak bergantung pada basis Jordan. Khususnya syarat perlu
teorema berikut yang merupakan aplikasi Teorema 2.2 di atas.
dan cukup tersebut ada pada point .,
ii dua barisan bilangan bulat tak
negatif yang bersifat monoton tak turun. Seperti yang telah saya
sampaikan sebelumnya, salah satu barisan bilangan bulat tak negatif
tersebut mengindikasikan unsur-unsur dalam basis Jordan dari seluruh
ruang vektor yang tidak termasuk sebagai basis dari subruang
.
marked
Teorema 2.2 juga berhasil memperlihatkan keterkaitan atau
hubungan antara tiga buah tipe subruang, subruang
,
marked hyperinvariant
Bentuk
dan karakteristik. Mengingat setiap subruang hyperinvariant adalah juga
Maka W adalah subruang dari C2m yang invariant terhadap H dengan
merupakan subruang karakteristik maka diperoleh akibat berikut.
Dim(W) = m. Misalkan pula Y,Z adalah dua buah matriks berukuran m x m
sehingga kolom-kolom matriks
membentuk basis dari W maka Y
Akibat 2.3. (Astuti dan Wimmer [11])
nonsingular dan X = Y Z
-1
adalah solusi tunggal Hermit dari ARE (2.1).
Marked + Karakteristik = Hyperinvariant
Aplikasi Teorema 2.2 yang kami kembangkan adalah untuk
Subruang W dalam Teorema 2.4 adalah subruang hyperinvariant yang
menentukan penyelesaian persamaan aljabar Riccati (Algebraic Riccati
memenuhi persyaratan pada Teorema 2.2. Dalam Toerema 2.4 kami
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
12
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
13
22 Juli 2011
memberikan suatu alternatif cara memperoleh solusi ARE, yaitu solusi
struktur subruang invariant untuk mengkaji matriks perbandingan
ARE dapat dikonstruksi dari basis subruang hyperinvariant W tersebut.
berpasangan. Matriks perbandingan berpasangan (pairwise comparison
Hasil kajian di atas juga telah menjadi fenomena yang memberikan
matrix disingkat PCM) merupakan matriks positif resiprokal yang
inspirasi kepada kami untuk meneliti lebih lanjut struktur dari ketiga tipe
memegang peranan penting pada Analytical Hierarchy Process (AHP). AHP,
subruang
,
invariant termasuk hubungan antar mereka. Mengingat setiap
dikembangkan oleh L. Saaty tahun 1980 [34], adalah suatu metode
subruang hypeinvariant adalah karakteristik, dicari lebih lanjut syarat
pembuat keputusan yang melibatkan banyak alternatif dan kriteria.
bilamana subruang karakteristik bersifat hyperinvariant dan diperoleh
Penerapan AHP pada masalah pengambilan keputusan dengan n buah
hasil-hasil berikut yang telah dan sedang dipersiapkan untuk dipublikasi-
alternatif keputusan atau kriteria akan menghasilkan PCM berukuran n x
kan di jurnal.
n. Komponen baris ke-i kolom ke-j dari PCM tersebut menyatakan rasio
1.
Untuk lapangan (sistem skalar) tumpuan yang berisi lebih dari 2
atau perbandingan dominasi alternatif keputusan atau kriteria ke-i
unsur, diperoleh bahwa setiap subruang karakteristik adalah
terhadap alternatif keputusan atau kriteria ke- .
j
hyperinvariant [31] [11].
Dalam AHP, nilai karakteristik terbesar dari matriks PCM beserta
2.
Untuk lapangan tumpuan berisi dua unsur, yaitu Z ,
vektor karakteristik positifnya digunakan untuk mengidentifikasi urutan
2
terdapat
subruang karakteristik yang tidak hyperinvariant jika dan hanya
prioritas berbagai alternatif keputusan, kriteria atau subkriteria yang
jika bentuk kanonik Jordan dari operator linier terkait
sedang ditelaah. Nilai karakteristik terbesar dari PCM juga digunakan
mengandung hanya satu blok Jordan berukuran R x R dan hanya
untuk menentukan indeks konsistensi dari penyelesaian yang
satu blok Jordan berukuran S x S dengan R + 1 < S [35] [12].
dikembangkan.
3.
Deskripsi atau identifikasi suatu kelas subruang karakteristik
Berbagai penelitian telah banyak dilakukan tentang sifat-sifat dan
yang tidak hyperinvariant [13].
struktur nilai karakteristik terbesar dan vektor karakteristiknya yang
positif dari suatu PCM, termasuk metode menaksirnya [19], [20] [29].
Walaupun demikian, struktur ruang vektor nampaknya belum banyak
3
MATRIKS PERBANDINGAN BERPASANGAN
dimanfaatkan pada hasil-hasil penelitian tersebut. Sehubungan dengan
Pengembangan yang kedua adalah suatu pemanfaatan sederhana
hal tersebut, kami menawarkan suatu alternatif memanfaatkan struktur
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
14
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
15
22 Juli 2011
subruang invariant pada pengkajian PCM.
4
PERLUASAN KE TEORI MODUL
AHP untuk permasalahan yang ideal akan menghasilkan PCM
Salah satu pendekatan yang banyak dilakukan di dalam penelitian
dengan rank 1 yang disebut PCM konsisten. Untuk kasus ini, nilai
matematika adalah memperumum atau memperluas cakupan dari hasil-
karakteristik dan vektor karakteristik positifnya dapat diperoleh dengan
hasil penelitian yang telah ada pada kelas yang lebih besar. Jika suatu
mudah. Pada kenyataannya, masalah pengambilan keputusan
struktur, sifat, atau teorema A berlaku pada objek-objek dalam suatu kelas
mengandung pandangan dan pertimbangan yang subjektif sehingga
B dan kelas B adalah bagian dari kelas C, suatu hal yang sangat alamiah
menghasilkan PCM yang tidak konsisten, biasanya disebut PCM
jika kita mempertanyakan apakah struktur, sifat, atau teorema A tersebut
terganggu.
juga berlaku pada objek-objek di kelas C. Kita juga dapat
Kajian yang kami lakukan baru pada PCM terganggu sederhana.
mempertanyakan bagian mana dari struktur, sifat, atau teorema A yang
Kajian kami tentang matriks PCM terganggu sederhana, menghasilkan
masih berlaku pada C, atau adakah struktur, sifat, atau teorema yang
bahwa matriks PCM mendekomposisi ruang vektor Rn menjadi jumlah
serupa dengan Ayang berlaku di C?
langsung dua buah subruang
,
invariant yaitu subruang peta dan subruang
Sehubungan dengan pendekatan di atas kami telah mengembangkan
inti. Keistimewaan ini memberikan peluang pencarian nilai dan vektor
hasil tentang subruang invariant ke dalam konteks teori modul. Teori
karakteristik PCM, termasuk pencarian polinom karakteristiknya cukup
modul dapat digunakan untuk mengkaji struktur operator linier. Proses
dibatasi pada ruang peta yang jauh lebih kecil dimensinya dibandingkan
investigasi operator linier menggunakan pendekatan teori modul jauh
seluruh ruang vektor. Dari kajian tersebut, dapat diperoleh bentuk
lebih elegan dibandingkan dengan pendekatan ruang vektor. Sejumlah
eksplisit vektor karakteristik positif PCM. Hasil tersebut selanjutnya
hal yang perlu penurunan panjang dan teknis pada pendekatan ruang
dimanfaatkan lebih lanjut untuk melihat pengaruh gangguan pada
vektor, kadang kala dalam pendekatan dengan teori modul hal tersebut
terjadinya perubahan prioritas alternatif keputusan serta indeks
dapat diperoleh dengan melakukan sedikit analisis dari struktur modul
konsistensi. Hasil kajian ini telah dipublikasikan dalam dua buah makalah
yang dibangun. Teori modul juga dapat digunakan untuk mengkaji
yang diterbitkan di jurnal nasional dan internasional [27] dan [5] serta
persamaan diferensial linier baik yang biasa maupun yang parsial. Dalam
menjadi topik kajian tesis mahasiswa magister.
kajian sistem kontrol linier dengan pendekatan secara aljabar (algebraic
system theory) atau pendekatan model behavior yang diperkenalkan oleh
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
16
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
17
22 Juli 2011
Willems dan dikembangkan oleh Fuhrmann dkk, sistem yang dikaji
Teorema 4.1. (Ferrer, Puerta, dan Puerta [21])
ditransformasikan dan dipandang sebagai modul atas gelanggang
Misalkan T : V V suatu operator linier pada ruang vektor berdimensi
operator seperti gelanggang polinom dan aljabarWeyl ([22], [36]).
hingga V . Suatu subruang invariant W adalah subruang marked jika dan hanya
Modul adalah suatu sistem matematika yang dapat dipandang
jika berlaku untuk semua d; h
sebagai generalisasi atau perluasan dari ruang vektor namun struktur dari
sistem skalar tumpuan modul, biasanya disebut gelanggang
,
(ring) tidak
secantik struktur lapangan (field) yang merupakan sistem skalar
tumpuan ruang vektor. Lapangan adalah gelanggang namun sebaliknya
Persamaan (4.1) adalah salah satu karakterisasi subruang marked.
tidaklah benar. Dengan demikian ruang vektor adalah modul namun
Hasil tersebut telah dapat diperluas dalam konteks modul
modul belum tentu ruang vektor.
sebagaimana ditunjukkan dalam teorema berikut, khususnya butir 3.
Dalam pemikiran generalisasi atau perluasan tersebut dikaitkan
dengan hasil-hasil yang telah ada tentang struktur subruang marked
Teorema 4.2. (Astuti dan Wimmer [9])
muncul pertanyaan struktur yang seperti apakah dalam sistem
MisalkanM suatu modul torsi atas suatu daerah valuasi diskrit dengan unsur
matematika modul yang serupa atau merupakan perluasan dari subruang
prim p dan W submodul dari M. Pernyataan berikut ekuivalen.
?
marked Lebih lanjut, apakah sifat-sifat dari subruang marked juga berlaku
pada struktur di sistem modul tersebut?
Penelitian kami yang membahas pertanyaan di atas telah
menghasilkan perluasan karakterisasi geometri subruang marked ke
submodul regular atau stacked dan telah dipublikasikan dalam 2 jurnal
internasional [8] [9]. Berikut akan kami sampaikan satu perluasan yang
kami lakukan dari karakterisasi geometri subruang marked yang telah
dihasilkan oleh Ferrer dkk seperti yang ditunjukkan dalam teorema
berikut ke teori modul.
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
18
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
19
22 Juli 2011
3.
Hasil kajian tentang struktur berbagai tipe modul dan komodul,
khususnya modul dan komodul herediter dan koherediter, serta
modul Dedekind ([23], [24], [25], [26], [28]). Hasil ini juga
merupakan pekerjaaan mahasiswa doktor yang telah selesai dan
Dalam pendekatan perluasan hasil penelitian pada kelas yang lebih
saya sebagai promotornya. Kelanjutan dari penelitian ini tentang
besar, sejumlah penelitian juga telah dilaksanakan bersama kolega dan
modul Dedekind dan modul valuasi sedang ditawarkan kepada
mahasiswa dalam topik teori modul dan gelanggang tumpuannya. Hasil-
calon mahasiswa doktor yang tertarik melakukan penelitian di
hasil yang telah diperoleh adalah sebagai berikut.
bidang aljabar.
1.
Hasil kajian tentang struktur matriks polinom serta struktur
homomorfisma antar modul yang dibangun oleh matriks polinom
5
PENUTUP
yang mengandung pembagi elementer takhingga. Hasil ini
Aljabar linier dan teori modul, khususnya teori modul atas
diinspirasi oleh hasil yang ada di sistem kontrol linier dan sistem
gelanggang polinom dan bentuk rasional yang walaupun merupakan
dekriptor (descriptor system) ([4] [6], [7]). Kelanjutan dari hasil ini,
bagian dari matematika murni tetapi banyak dimanfaatkan sebagai
suatu topik dalam teori sistem aljabar dalam konteks behavior
kerangka kerja dalam pengkajian berbagai bidang seperti sistem kontrol
menjadi topik penelitian salah satu mahasiswa doktor.
linier. Sistem kontrol linier dan aplikasinya rekayasa kontrol merupakan
2.
Hasil kajian tentang struktur gelanggang polinom miring atas
bidang yang dikembangkan di sejumlah fakultas dan sekolah di ITB
daerah Dedekind ([1], [2], dan [3]). Hasil ini merupakan hasil
karena aplikasinya yang sangat luas. Penguatan aljabar linier dan teori
mahasiswa doktor dengan saya sebagai promotor dan juga
modul dapat dipandang sebagai dukungan pada pengembangan bidang
merupakan penelitian kerjasama antara KK Aljabar FMIPA ITB
yang banyak ditekuni di ITB tersebut. Sebagai anggota dari kelompok
dengan Prof. H. Marubayashi, dari Bunri University, Jepang. Salah
keilmuan Aljabar di FMIPA ITB yang menekuni bidang aljabar linier dan
satu jenis gelanggang polinom miring adalah aljabar Weyl yang
teori modul, saya akan terus melaksanakan penelitian di bidang ini.
banyak dimanfaatkan sebagai gelanggang tumpuan kajian sistem
Kegiatan penelitian juga akan terus disinergikan dengan kegiatan
kontrol linier secara aljabar.
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
20
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
21
22 Juli 2011
pendidikan melalui pengkajian dan pemanfaatan topik dan hasil-hasil
yang terhormat dan sangat berat tanggung jawabnya. Untuk itu saya
penelitian pada kegiatan perkuliahan dan pembimbingan tugas akhir,
berdoa kepada Allah SWT semoga Allah SWT selalu memberi saya
tesis dan disertasi.
kekuatan, ketuguhan hati, dan kemudahan menjalan amanah guru besar
Disisi lain, ITB yang bercita-cita untuk menjadi world class university
dengan baik.
yang berkebangsaan, perlu meningkatkan partisipasinya pada kegiatan
Terima kasih saya sampaikan kepada pimpinan dan anggota Majelis
pengembangan ilmu pengetahuan, teknologi, dan seni di tingkat
Guru Besar Institut Teknologi Bandung atas kesempatan yang diberikan
international. Di tingkat internasional, aljabar linier dan teori modul
kepada saya untuk menyampaikan pidato ilmiah di hadapan sidang
masih merupakan area yang aktif dan menarik banyak peneliti untuk
Majelis Guru Besar ITB yang sangat terhormat ini dan atas bantuan dan
mengembangkannya. Pelaksanaan kegiatan penelitian di bidang aljabar
dukungan yang diberikan pada saat pengusulan jabatan guru besar saya.
linier dan teori modul di KK Aljabar akan terus dilaksanakan dan
Saya sampaikan terima kasih kepada pimpinan dan anggota Senat
ditingkatkan sebagai bagian dari partisipasi KK Aljabar pada usaha ITB
Akademik ITB, pimpinan ITB, Prof. Dr. Djoko Santoso dan jajarannya
tersebut.
waktu pengusulan guru besar saya, Rektor Prof. Dr. Akhmaloka dan
jajarannya, mantan Dekanat dan Dekanat FMIPA ITB: Dr. Idam Arif, Prof.
Dr. Khairurrijal, Dr. Umar Fauzi, Dr. Fida M. Warganegara, Dr. Yudi
6
UCAPAN TERIMA KASIH
Soeharyadi, Dr. Indra Noviandri, Dr. Hilda Assiyatun; pimpinan dan
Menjelang saya akhiri pidato ilmiah ini, perkenankan saya
anggota Senat FMIPA, para promotor saya Prof. Dr. M. Ansyar, Prof. Dr.
menyampaikan terima kepada semua pihak yang telah mendidik,
Edy Tri Baskoro, Prof. Dr. Edy Soewono, Prof. Dr. Ismunandar, Prof. Dr.
membimbing, membantu, mendukung, dan bekerjasama dengan saya
Djulia Onggo atas bantuan dan dukungan yang diberikan pada
sehingga akhirnya saya mendapat kepercayaan amanah jabatan guru
pengusulan jabatan guru besar saya.
besar bidang aljabar linier pada Fakultas Matematika dan Ilmu
It is a pleasure to express my gratitute to Prof. Dr. H.K. Wimmer for our
Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung.
enjoyable and productive collaboration for more then ten years. I would also like to
Pertama-tama saya panjatkan puji syukur, alhamdulillah, atas
thank Prof. H. Marubayashi for the collaboration.
kepercayaan amanah jabatan guru besar yang saya terima, suatu jabatan
Ucapan terima kasih dan penghargaan yang tinggi saya sampaikan
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
22
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
23
22 Juli 2011
kepada guru-guru saya yang telah dengan tulus mendidik saya hingga
dan teladan yang diberikan untuk selalu amanah dan kerja keras. Saya
menjadi seperti sekarang; para guru saya di SD Kedungwuluh III
sangat beruntung menjadi putri beliau. Terima kasih juga saya sampaikan
Purwokerto, di SMP Negeri I Purwokerto, di SMA Negeri I Purwokerto, di
kepada ayah-ibu mertua saya Bpk Jaja Kartawiria almarhum dan Hj. Dewi
Departemen Matematika FMIPA ITB, di Department of Mathematics dan
Lesmanah, kepada sebelas saudara kandung saya dan enam saudara ipar
Faculty of Engineering and Information Technology Australian National
beserta keluarga, terima kasih untuk persaudaraan yang hangat.
University; khususnya para pembimbing saya, Prof. Dr. Achmad Arifin,
Terakhir tapi karena memang untuk yang istimewa, terima kasih saya
Prof. Dr. M. Asyar, Dr. Rick Loy, Prof. Dr. Darrell Williamson, dan Dr.
sampaikan kepada anak-anak dan suami. Terima kasih untuk putri-putri
Brenan McCarragher; juga kepada guru saya Prof. Dr. Moedomo, Prof. Dr.
saya, Emily dan Sonya yang manis dan pengertian yang membuat saya
Maman A. Djauhari, dan Dra. Widiarti. Terima kasih juga saya sampaikan
makin mantap berkarya di dunia matematika. Terima kasih kepada suami
kepada rekan-rekan sejawat; rekan-rekan sesama staf pengajar pemain
tercinta Agah D. Garnadi untuk kasih sayang, pimpinan, bantuan dan
matematika di FMIPA ITB termasuk rekan-rekan di KK Aljabar: Prof Dr.
dukungan yang diberikan selama ini sehingga akhirnya saya diberi
Irawati, Dr. Ahmad Muchlis, Dr. Intan D. Muchtadi, Dr. Hanni Garminia,
kesempatan menyampaikan pidato ilmiah di forum terhormat ini.
Aleams Barra, M.Si, Dellavitha Nasution, M.Si, dan Fajar Yuliawan M.Si;
Akhirnya saya sampaikan terima kasih kepada seluruh sivitas
rekan-rekan di IndoMS dan Himpuanan Peminat Aljabar, khususnya Prof.
akademika ITB dan semua pihak yang tidak dapat saya sebutkan satu
Dr. Sri Wahyuni, Prof. Dr. Budi Nurani dan Dr. Siti Fatimah; terima kasih
persatu yang telah berkontribusi pada perkembangan diri saya. Saya
atas kebersamaan yang kita jalani selama ini. Capaian saya sekarang ini
tutup pidato ilmiah ini dengan ucapan terima kasih kepada seluruh
juga tak lepas dari interaksi saya dengan mahasiswa. Untuk itu saya
hadirin atas perhatian yang diberikan selama saya menyampaikan pidato
sampaikan terima kasih kepada seluruh mahasiswa bimbingan saya yang
ilmiah ini.
tidak dapat saya sebutkan satu-persatu, terima kasih atas kesempatan
yang diberikan kepada saya untuk menjadi pembimbing.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga saya sampaikan kepada
DAFTAR PUSTAKA
kedua orang tua saya, H. Achmad Waluyo almarhum dan Hj. Siti Fatimah
[1] A.K. Amir, P. Astuti, dan I. Muchtadi-Alamsyah, Minimal Prime Ideals
almarhumah, terima kasih untuk kasih sayang, bimbingan, pendidikan
of Ore Over commutative Dedekind Domain, JP. Journal of Algebra,
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
24
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
25
22 Juli 2011
Number Theory and applications, 16 (2010), 101107.
(2006), 15031506.
[2] A.K. Amir, H. Marubayashi, P. Astuti, dan I. Muchtadi-Alamsyah,
[11] P. Astuti dan H. K. Wimmer, Hyperinvariant, Characteristic and
Corrigenum to Minimal Prime Ideals of Ore Extension Over
Marked Subspaces, Oper.
.,
Matrices 3 (2009), 261270.
commutative Dedekind Domain and its Applications, JP. Journal of
[12] P. Astuti dan H. K. Wimmer, Characteristic Subspaces that are not
Algebra, Number Theory and applications, 21 (2011), 4144.
Hyperinvariant Subspaces over the Field GF(2), Linear Algebra
,
Appl.
[3] A. K. Amir, P. Astuti, I. Muchtadi-Alamsyah, dan Irawati, On Maximal
(2011) (in press).
Order and Factor Rings of Ore Extension over Commutative Dedekind
[13] P. Astuti dan H. K. Wimmer, A Class of Characteristic Invariant
Domain, Far East Journal of Mathematical Sciences, (2011) (accepted).
Subspaces that are not Hyperinvariant, (in pr
.
eparation)
[4] P. Astuti, Sekitar Matriks Suku Banyak Taksingular, Majalah Ilmiah
[14] S. Barnett dan R.G Cameron, Introduction to Mathematical Control
Himpunan Matematika Indonesia, 5 (1999), 11 21.
Theory, Clarendon Press, Oxford, (1985).
[5] P. Astuti dan A.D. Garnadi, On Eigevalues and Eigenvectors of
[15] R. Bru, L. Rodman, dan H. Schneider, Extensions of Jordan Bases for
Perturbed Pairwise Comparison Matrices, ITB Journal of Science, 41
invariant Subspaces of a Matrix, Linear Algebra Appl., 150 (1991),
(2009), 6977.
209226.
[6] P. Astuti dan H.K. Wimmer, Homomorphisms of Modules Associated
[16] L. Corry, Invariant Theory (English version), in Encyclopaedia Italiana –
with Polynomial Matrices with Infinite Elementary Divisors, Systems
Storia della
,
Scienza Vol. VII (2003), 10251029.
and Control Letters, 44 (2001), 333 337.
[17] L. Corry, From Algebra (1895) to Moderne Algebra (1930): Changing
[7] P. Astuti dan H.K.Wimmer, Pair of Modules over a Principle Ideal
Conceptions of a Discipline. A Guided Tour Using the Jahrbuch ber die
Domain, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia, 7 (2001), 17.
Fortschritte der Mathematik, in J. Gray and K.H. Parshall (eds.),
[8] P. Astuti dan H.K. Wimmer, Stacked Submodules of Torsion Modules
Commutative Algebra and its History: Nineteenth and Twentieth Century,
over Discrete Valuation Domains, Bull. of Australian Math. Soc., 68
Providence, American Mathematical Society/London Mathematical
(2003), 439 447.
Society, (2006).
[9] P. Astuti dan H. K.Wimmer, Regular Submodules of Torsion Modules
[18] A. Compta dan M. Pea, Structural Stability of (C;A)-marked
over a Discrete Valuation Domain, Czechoslov. Math. J., 56 (2006),
Subspaces, Linear Algebra Appl., 421 (2007), 4552.
349357.
[19] M.T. Chu, On the Optimal Consistent Approximation to Pairwise
[10] P. Astuti dan H. K. Wimmer, A Class of Marked Invariant Subspaces
Comparison Matrices, Linear Algebra
.,
Appl 272 (1998), 155168.
with an Application to Algebraic Riccati Equations, Automatica, 42
[20] Andrs Farkas, The Analysis of the Principal Eigenvector of Pairwise
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
26
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
27
22 Juli 2011
Comparison Matrices, Acta Polytechnica
,
Hungarica 4 (2007).
Ann Arbor, (1954).
[21] J. Ferrer, F. Puerta, dan X. Puerta, Geometric Characterization and
[32] I. Kleiner, A History of Abstract
,
Algebra Birkhauser, (2007).
Classification of Marked Subspaces, Linear Algebra
,
Appl. 235 (1996),
[33] W. E. Longstaff, A lattice-theoretic description of the lattice of
1534.
hyperinvariant subspaces of a linear transformation, Can. J.
.,
Math 28
[22] P.A. Fuhrmann, P. Rapisarda, dan Y. Yamamoto, On the State of
(1976), 10621066.
Behaviors, Linear Algebra Appl., 424 (2007), 570614.
[34] T.L. Saaty, The Analytical Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York,
[23] H. Garminia dan P. Astuti, Karakterisasi Modul s [M]-Koherediter,
1980.
Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia, 12 (2006), 225231.
[35] K. Shoda, ber die characteristischen Untergruppen einer endlichen
[24] H. Garminia, P. Astuti, dan Irawati Properties of Cohereditary
Abelschen Gruppe, Math.
,
Zeit. 31 (1930), 611624.
Comodule, Jurnal Matematika dan
,
Sains 12 (2007),7983.
[36] E. Zerz, Algebraic Systems Theory, Lehrstuhl fur Mathematik RWTH
[25] H. Garminia, P. Astuti, dan Irawati, Struktur Modul Hasil Bagi dari
Aachen, (2006).
Modul Dedekind, Jurnal Matematika dan
,
Sains 13 (2008), 114117.
[26] H. Garminia, P. Astuti, dan Irawati, An Intertwinning of a Hereditary
Algebra and a Cohereditary Coalgebra, Journal of Fundamental
,
Science
(2008),
4
261267 .
[27] H. Garminia, Moh. Hafiyusholeh, dan P. Astuti, Pengaruh Gangguan
pada Perubahan Prioritas dan Indeks Konsistensi Matriks
Perbandingan Berpasangan dalam Analytical Hierarchy Process,
Jurnal matematika dan
,
Sains 15 (2010), 143 – 147.
[28] H. Garminia, P. Astuti, dan Irawati, A Note on Dedekind Modules,
International Journal of Algebra, 5 (2011), 491 498.
[29] S.I. Gass dan T. Rapcsak, Singular value decomposition in AHP,
European Journal of Operational Resear ,
ch 154 (2004), 573 584.
[30] I. Gohberg, P. Lancaster, dan L. Rodman, Invariant Subspaces of Matrices
with
,
Applications Wiley, New York, (1986).
[31] I. Kaplansky, Infinite Abelian Groups, University of Michigan Press,
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
28
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
29
22 Juli 2011
CURRICULUM VITAE
Nama
: PUDJI ASTUTI WALUYO
Tempat, tgl lahir : Purwokerto, 1 April 1961
Alamat Kantor
: KK Aljabar, FMIPA
Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesa 10, Bandung 40132
e-mail
: pudji@math.itb.ac.id
Nama Suami
: Agah D. Garnadi, Drs., Grad.Dip.Sc.
Nama Anak
: Emily Maratusalihat, ST, M.Sc.
Sonya Maratusalihat, dr.
PENDIDIKAN:
1.
Sarjana, bidang Matematika, Institut Teknologi Bandung, lulus
1984.
2.
Magister, bidang Matematika, Institut Teknologi Bandung, lulus
1987.
3.
Graduate Diploma in Science, bidang Matematika, Australian
Nasional University, lulus 1992.
4.
Doctor of Philosophy, bidang Engineering (Sistem Kontrol),
Australian National University, lulus 1997.
RIWAYAT JABATAN FUNGSIONAL DI FMIPA ITB

2010 –
: Guru Besar
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
30
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
31
22 Juli 2011

2002 – 2010 : Lektor Kepala
11. Sekretaris Departemen Matematika, FMIPAITB, Mei 2001 –

1998 – 2002 : Lektor
Februari 2002.

1996 – 1998 : Lektor Muda
12. Technical Assistance bidang Aljabar, Development Undergraduate
Education (DUE-like) Project FMIPA, Universitas Negeri Sebelas

1990 – 1996 : Asisten Ahli
Maret, Oktober 2001.

1987 – 1996 : Asisten Ahli Madya
13. Bendahara, Development Undergraduate Education (DUE-like)
Project, Program TPB, ITB (Jan. 2001 – Des 2001 ).
PENGALAMAN PEKERJAAN
14. Person in Charge, DUE-like Project, Program TPB, ITB (April 1999 –
1.
Staf Pengajar ITB, Januari 1986 – sekarang
Dec. 2000 )
2.
Dekan Sekolah Pascasarjana ITB, Januari 2011 – sekarang
15. Person in Charge, Proyek QUE, Matematika, ITB, Maret 1999 –
3.
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITB,
Februari 2000, kegiatan : Improving course management and
2010.
solving bottle neck problems.
4.
Anggota Senat FMIPAITB, 2011.
16. Short-term fellowship to visit the Federal Republic of Germany,
5.
Wakil Dekan bidang Akademik, Fakultas Matematika dan Ilmu
Dibiayai oleh DAAD (Mei – Juli 1999).
Pengetahuan Alam (FMIPA), ITB, Januari 2006 – Januari 2010.
17. Anggota tim pengembangan kurikulum Program Sarjana
6.
Pembimbing magang penelitian/pengajaran dalam bidang aljabar
Matematika ITB, September 1997 – Agustus 1998.
untuk staf muda dari UNHAS, UNDIP, UNNES, UGM, UNAIR.
18. Research Assistant, Dept. Engineering, Faculty Eng. Inf. Tech.,
7.
Team Leader, Tim Indonesia ke International Mathematics
ANU, 1995.
Competition for Undergraduate Student di Macedonia, 2004.
19. Teaching Assistant, Dept. Engineering, Faculty Eng. Inf. Tech.,
8.
Pembina, Pembinaan tim Olimpiade Matematika Mahasiswa
ANU, 1994.
Indonesia, 2003 – 2007.
9.
Ketua Departemen Matematika, FMIPA ITB, Maret 2002 –
KEANGGOTAAN DALAM ORGANISASI PROFESI
Desember 2005.
1.
Himpunan Matematika Indonesia
10. Technical Assistance bidang Aljabar, Development Undergraduate
2.
IEEE (1992 – 1995)
Education (DUE-like) Project FPMIPA, Universitas Negeri
3.
SIAM (1992 – 1995)
Padang, Agustus 2002.
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
32
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
33
22 Juli 2011
PENGHARGAAN DAN SEJENISNYA
1.
Ganesa Wira Adiutama dari Institut Teknologi Bandung, 2011.
2.
Satyalancana Karya Satya XX Tahun dari Pemerintah RI, 2007.
3.
Amelia Earhart Fellowship dari Zonta International Foundation,
1993.
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Majelis Guru Besar
Prof. Pudji Astuti Waluyo
Institut Teknologi Bandung
34
22 Juli 2011
Institut Teknologi Bandung
35
22 Juli 2011

Leave a Reply